Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Seperti yang telah kita ketahui bersama, suatu permasalahan dapat dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahan tentu mempunyai bentuk penyelesaian yang optimum.

1. Fungsi Objektif z = ax + by

Fungsi tujuan dalam pembuatan model matematika dinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yang akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dari program linear adalah fungsi z = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.

a. Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y

Kendala: 5x + 4y ≤ 20

x + 2y ≤ 24

x, y ≥ 0, dengan x, y ϵ C

b. Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3y

Kendala: x + y ≤ 500

4x + 2y ≤ 200

x, y ≥ 0

x, y ϵ C

2. Cara Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif

Dari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuan utama dari program linear, yaitu menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengan nilai optimum, langkah-langkah pemecahannya adalah sebagai berikut.

a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.

b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.

c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesius yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.

d. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif.

e. Menafsirkan/menjawab permasalahan.

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut: Tentukan model pertidaksamaan dari informasi soal dan gambarkan daerah selesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat. Tentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, a, b, dan k bilangan real. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terbesar dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terkecil dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian. Untuk lebih memahami penerapan langkah-langkah tersebut, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal Seorang peternak ayam petelur harus memberi makanan untuk tiap 50 ekor/hari paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B. Zat-zat tersebut tidak dapat dibeli dalam bentuk murni, melainkan teerdapat dalam makanan ayam M1 dan M2. Tiap kg makanan ayam M1 mengandung 30 unit zat A dan 20 unit zat B, dan makanan M2 mengandung 20 unit zat A dan 40 unit zat B. Jika harga M1 adalah Rp 225/kg dan harga M2 adalah Rp 250/kg, dan tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari. Berapakah banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur, supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi? Ayam Pembahasan Contoh Soal Langkah pertama: Ubah permasalahan di atas menjadi model matematika. Misalkan x dan y secara berturut adalah banyaknya makanan M1 dan M2 yang harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur. Karena tiap 50 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B, tiap 1.000 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 3.000 unit zat A dan 4.000 unit zat B maka. Dan karena tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari, maka 1.000 ekor ayam membutuhkan 125.000 gr atau 125 kg makanan tiap harinya. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut. 30x + 20y ≥ 3.000 20x + 40y ≥ 4.000 x + y ≥ 125 x ≥ 0 y≥ 0 x, y bilangan cacah Fungsi objektif dari permasalahan di atas adalah f(x, y) = 225x + 250y. Sebelum menggambar grafiknya, sebaiknya kita daftar titik-titik yang dilalui oleh garis-garis batas dari sistem pertidaksamaan di atas. Tabel Titik-titik Koordinat Apabila digambarkan, daerah selesaiannya seperti berikut. Daerah Selesaian Langkah kedua: Gambarkan garis selidik 225x + 250y = k. Garis-garis Selidik Setelah melihat gambar di atas, ternyata garis selidik yang melalui titik (50, 75) yang memiliki nilai k minimum (nilai k bisa dilihat pada sumbu y, semakin tinggi titik potong garis selidik terhadap sumbu y, maka semakin besar pula nilai k tersebut, dan sebaliknya). Untuk x = 50 dan y = 75, diperoleh nilai k-nya adalah 30.000. Jadi, banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi secara berturut-turut adalah 50 kg dan 75 kg.

Make Money at : http://bit.ly/copy_win